一、选择题：（5*12=60分）
1．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为( )
A．1sin0.5 B．sin0.5 C．2sin0.5 D．tan0.5
2．已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为( )
A．32 B．33 C．3 D．23
3．(04浙江)在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞12”的( )
A．仅充分条件 B．仅必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知sinα＞sinβ，则下列命题成立的是( )
A．若α.β是第一象限角，则cosα＞cosβ．
B．若α.β是第二象限角，则tanα＞tanβ．
C．若α.β是第三象限角，则cosα＞cosβ．
D．若α.β是第四象限角，则tanα＞tanβ．
5．以下各式能成立的是( )
A．sinα＝cosα＝12 ； B．cosα＝13且tanα＝2；
C．sinα＝12且tanα＝33； D．tanα＝2且cotα＝－12
6．cot(α－4π)•cos(α＋π)•sin2(α－3π)tan(π＋α)•cos3(－α－π)的结果是( )
A．1 B．0 C．－1 D．12
7．设sin123°＝a，则tan123°＝( )
A．1－a2a B．a1－a2 C．1－a2 1－a2 D．a1－a2 a2－1
8．α为第二象限角，P(x, 5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x值为( )
A．3 B．±3 C．－3 D．－2
9．设α∈(0, π4)，则2sinα，2cosα，log2sinα的大小顺序是( )
A．2sinα＞2cosα＞log2sinα； B．2sinα＞log2sinα＞2cosα；
C．2cosα＞log2sinα＞2sinα； D．2cosα＞2sinα＞log2sinα．
10．已知以下四个函数值：①sin(nπ＋π3)，②sin(2nπ±π3)，③sin[nπ＋(－1)nπ3]，④cos[2nπ＋(－1)nπ6]，其中n∈Z，与sinπ3的值相同的是( )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
11．已知集合A＝{x|x＝cosnπ3，n∈Z}，B＝{x|x＝sin(2n－3)π6，n∈Z}，则( )
A．B ≠ A B．A ≠ B C．A＝B D．A∩B＝φ
12．若α满足sinα－2cosαsinα＋3cosα＝2，则sinα•cosα的值等于( )
A．865 B．－865 C．±865 D．以上都不对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：（16分）
13．已知sinθ－cosθ＝12，则sin3θ－cos3θ＝＿＿＿＿＿．
14．函数y＝|sinx|sinx＋cosx|cosx|＋|tanx|tanx＋cotx|cotx|的值域为＿＿＿＿＿＿．
15．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，则cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
16．若α∈[0, π4]，则函数y＝log2[1＋cos(9π2－α)]＋log2[1＋sin(α－5π)]的值域为＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
三、解答题：（74分）
17．求函数y＝logcosx (2sin2x－1)的定义域．（12分）
18．已知扇形的周长为L，问当扇形的圆心角α和半径R各取何值时，扇形面积最大？（12分）
19．已知cosα＝m，(|m|≤1)，求sinα，tanα的值．（12分）
20．已知α为第三象限角，且f(α)＝sin(π－α)cos(2π―α).tan(―α＋3π2) cotα.sin(π＋α)．（12分）
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值；
(3)若α＝－1860°，求f(α)的值．
21．（12分）已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：
(1) sinθ1－cotθ＋cosθ1－tanθ的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
22．（14分）是否存在α.β，α∈(－π2,π2)，β∈(0,π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α,β的值，若不存在，请说明理由．
答案：
1．A2．D3．B4．D5．C6．A7．D8．C9．D10．C11．C
12．B提示：由条件得sinα＋8cosα＝0 tanα＝－8．
∴sinα•cosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝1tanα＋cotα＝1―8―18＝－865．
13．111614．{－2,0,4}
15．22－13提示：α为第三象限角，cos(75°＋α)＝13＞0，
∴75°＋α∈(270°,360°)，
∴sin(75°＋α)＝－223，
cos(105°－α)＝―cos[180°―(105°―α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，
sin(α－105°)＝－sin[180°＋(α－105°)]＝－sin(75°＋α)＝223，
∴原式＝22－13．
16．[－1,0]提示：y＝log2[1＋cos(π2－α)]＋log2[1＋sin(π＋α)]
＝log2(1＋sinα)＋log2(1－sinα)
＝log2cos2α
∵α∈[0, π4],22≤cosα≤1, 12≤cos2α≤1,
∴－1≤y≤0．
17．解：0＜cosx＜12sin2x－1＞0 x∈(2kπ－π2，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋π2)．x∈(kπ＋π12，kπ＋5π12)．
∴定义域为{x|2kπ＋π12＜x＜2kπ＋5π12，k∈Z}
18．解：∵L＝2R＋αR，S＝12αR2．
∴α＝2SR2．
∴L＝2R＋2SR 2R2－LR＋2S＝0．
△＝L2－16S≥0 S≤L216．
故当α＝2．R＝L4时，Smax＝L216．
19．解：当|m|＝1时，α＝kπ(k∈Z)．sinα＝0，tanα＝0．
当m＝0时，α＝kπ＋π2(k∈Z)，sinα＝±1，tanα不存在．
当0＜|m|＜1时，α为象限角．
若α为一、二象限角，则sinα＝1－m2，tanα＝1－m2m，
若α为三、四象限角，则sinα＝－1－m2，tanα＝－1－m2m，
20．(1)f(α)＝－cosα． (2) f(α)＝265．
(3) f(α)＝－12．
21．解：依题得：sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝m2．
∴(1)原式＝sin2θ sinθ－cosθ＋cos2θ－sinθ＋cosθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12；
(2)m＝2 sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2－1＝32．
(3)∵sinθ＋cosθ＝3＋12．
∴| sinθ－cosθ|＝3－12．
∴方程两根分别为32，12．
∴θ＝π6或π3．
22．解：由条件得：
sinα＝2sinβ ① 3cosα＝2cosβ ② ①2＋②2得：sin2α＋3cos2α＝2．
∴cos2α＝12．
∵α∈(－π2,π2)．
∴α＝π4或－π4．
将α＝π4代入②得：cosβ＝32，又β∈(0,π)．
∴β＝π6代入①适合，
将α＝－π4代入①得sinβ＜0不适合，
综上知存在α＝π4β＝π6 满足题设．
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